El orden en el cual se agrupan tres o más números reales para sumarlos no afectará a la suma. Esto se conoce como propiedad asociativa de la suma. El resultado siempre será el mismo número real. En general, la propiedad asociativa establece que el orden en el cual se agrupan los números para sumarlos no modifica la suma. Si a , b y C  son números reales, entonces 

( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La potencia de base de un número real a ≠ 0 ,y exponente a un numero entero negativo ⁻n es igual al inverso de la potencia de base al mismo número real y exponente positivo.
                                     a⁻n = 1/aⁿ

La suma de dos números reales cualquiera que sea el resultado de un número real. Esto se conoce como propiedad de clausura de la suma. El resultado siempre será un número real. En general, la propiedad de clausura establece que la suma de dos números reales cualquiera que sea un número real único. Si a , b y C

 son números reales, entonces 

a + b = c.

la operación de suma es conmutativa. El orden en el cual suma dos números reales no modifica el resultado, como se ve a continuación:

(+7)+(+20)=?                         (+20)+(+7)=?
(+7)+(+20)=+27                     (+20)+(+7)=+27

El orden en que suma los números no altera la respuesta. Esto se denomina propiedad conmutativa de la suma. En general, la propiedad conmutativa de la suma establece que el orden en el cual se suman dos números no afecta a la suma. Si a y b son números reales, entonces a + b = b + a.

la propiedad distributiva es aquella por la que la multiplicación de un número por una suma nos va a dar lo mismo que la suma de cada uno de los sumandos multiplicados por ese número.

por ejemplo:

3 x (4 + 5) = 3 x 4 + 3 x 5

Pero también podemos aplicar la propiedad distributiva en el otro sentido, llamándolo entonces sacar factor común, y es así:

2 x 6 + 2 x 9 = 2 x (6 + 9)

dos ejemplos más:

Distributiva: 8 x (13 – 1) = 8 x 13 – 8 x 1 = 8 x 13 – 8

Sacar factor común: 12 x 3 x 2 + 3 x 6 + 7 x 3 = 3 x (12 x 2 + 6 + 7)

La factorización es una expresión algebraica que mediante factores o divisores permiten simplificar en términos más simples para su manipulación.
En la expresión (a + ab) es posible factorizar ya que en cada término se tiene la letra “a”, por lo tanto, al factorizar se tiene que (a + ab) = a(1 + b), si se realiza la multiplicación de los factores a(1 + b) se obtiene como producto la primera expresión (a + ab).

La propiedad inversiva de la suma, en relación a los números enteros, dice que si a un número entero se le suma su inverso el resultado es el elemento neutro de la suma
Dos conceptos importantes

- INVERSO DE UN NÚMERO = NÚMERO CON SIGNO OPUESTO
  Ejemplo
               número = 16                    - 9
               inverso = - 16                  + 9

- ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA = 0 (por definición)
Con base en esos conceptos

                  5 + (- 5)                               11 + ( - 11)
                      = 5 - 5 = 0                      = 11 - 11 = 0

                 - 7 + (+ 7)                        - 35 + (+ 35)
                      = - 7 + 7 = 0                    = - 35 + 35 = 0

En general, para un número entero n o - n
                n + (- n)                              - n + (+ n)
                 n - n = 0                            - n + n = 0

La propiedad inversiva de la suma, en relación a los números enteros, dice que si a un número entero se le suma su inverso el resultado es el elemento neutro de la suma
Dos conceptos importantes

- INVERSO DE UN NÚMERO = NÚMERO CON SIGNO OPUESTO
  Ejemplo
               número = 16                    - 9
               inverso = - 16                  + 9
- ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA = 0 (por definición)

Con base en esos conceptos

                  5 + (- 5)                               11 + ( - 11)
                      = 5 - 5 = 0                      = 11 - 11 = 0

                 - 7 + (+ 7)                        - 35 + (+ 35)
                      = - 7 + 7 = 0                    = - 35 + 35 = 0

En general, para un número entero n o - n
                n + (- n)                              - n + (+ n)
                 n - n = 0                            - n + n = 0

Un numero entero son los elementos de un conjunto formados por los "Números naturales" con sus opuestos y el cero

Los números irracionales surgen por la imposibilidad de resolver en "Q*" ciertos problemas.
Los números irracionales se representa por " I " y está formado por todos los números decimales cuya parte decimal tienen infinitas cifras, por todos los números que no se pueden representar por el cociente de dos números enteros. 

Son los números que se pueden usar para contar y ca elemento tiene un sucesor, lo que implica que tiene infinitos elementos.

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por "Q"

Es el conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, y se designa por "R", Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

 

productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.

Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de factorización, por lo que su aprendizaje facilita y sistematiza la solución de diversas multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas complejas.

Los productos notables que se estudian son:

Para ciertos cálculos de simplificación en temáticas como límites y derivadas, que se conocerán en los próximos cursos de cálculo, las fracciones que tienen radicales tanto en el numerador como el denominador en algunos casos se presentan bastante complejas para el objetivo que se persigue en el momento. Para comodidad del propósito que se tenga es posible rescribir una fracción de manera que su numerador o denominador quede libre de expresiones que contenga radicales a este proceso se conocerá como racionalización. 

Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones:

La simplificación de fracciones algebraicas.

De la misma forma  que si multiplicas una fracción algebraica por el mismo polinomio el numerador y el denominador obtienes otra fracción algebraica equivalente, si dividimos entre el mismo polinomio, obtendremos otra fracción algebraica equivalente, cuyos polinomios tendrán un grado menos y por tanto la habremos simplificado.

Dividir el numerador y el denominador entre el mismo polinomio, equivale a eliminar el mismo polinomio del numerador y del denominador, que estará en forma de factor.

Al mismo tiempo, eliminar el mismo polinomio del numerador y del denominador equivale a multiplicar por 1.

Para simplificar una fracción algebraica, previamente debemos descomponer los polinomios del numerador y del denominador. "El factor o los factores que se repitan arriba y abajo, son los que podremos eliminar".

ejemplo: Simplificar la siguiente fracción algebraica:

Descomponemos el numerador y el denominador:

Vemos que el factor (x+1), está repetido arriba y abajo, por lo que lo podemos eliminar y queda: