Tomando a con exponente b teniendo en cuenta que b sea un número natural porque a con exponente b = a...a (b veces)  y si b fuera raíz de 2 no tendria el mismo sentido de que a se repita b de veces.

 Si a ∈ R y n ∈ N se define a n como:
 a n = a · a ... a (n veces)
 asi (−2) 3 = (−2) (−2) (−2) = −8 
(3/7) 5 = (3/7) (3/7) (3/7) (3/7) (3/7) = 243/16807 

Es decir la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia.
x al cuadrado menos y al cuadrado es igual a (x+y) (x-y) 

Así como los números naturales representan los números positivos también es necesario representar los números por debajo del cero por lo que se dice que de cada número natural n existe un número menos que n simbolizado como -n.

En la suma si a un número se le suma cero esta no varia ya que el cero no cambia ni afecta su operación porque el cero es un elemento neutro y es un módulo como por ejemplo:
a+0=a  y  0+a=a
Para la multiplicación todo número real b multiplicado por 1  su resultado es considerar la suma del numero b una sola vez dándonos el mismo b ya que el numero 1 es llamado módulo y elemento neutro para el producto. Como:
b.1=b  y  1.b=b

Aparte de contar que es una necesidad del hombre también es necesario medir los objetos como el saber la cantidad de agua  que hay en un vaso u objeto  y no suele ser exacto por lo que se sabe que es una fracción del entero u objeto y aunque no es un número entero hace parte de un entero.

No importa el orden en el que estén los números reales en la suma y multiplicación su resultado es el mismo como decir que :
 a + b = b + a   y   ab = ba 

Aclarando que en la división de los número reales cualquier número no puede ser dividido por cero ya que no existe un resultado como tal y en le caso de la multiplicación su inverso seria a con exponente −1  ,es decir,  a · b  con exponente −1 = c se representa por a/b = c pues a/b = c equivale a a = cb es decir a (1/b) = c equivale a a = cb . 

Son número empleados para contar los cuales tienen un orden especifico partiendo del número 1 y aunque no haya una cantidad total porque se considera que estos números son infinitos  y que cada número tiene un sucesor como por ejemplo el sucesor de 7 es 8 y el sucesor de 20 es 21.

No siempre el resultado es un número racional porque se descubrió que al medir la hipotenusa de un triangulo su resultado en forma de decimal no se repetía periódicamente como la raíz de 2, el número Pi y el número E  y por más que se presenten estas cifras decimales nunca se repetirán en patrón o periódicamente.

El conjunto de los números reales esta conformado con racionales e irracionales en el que cada punto de la recta real corresponde a un número real.

Su suma y producto de números reales dan como resultado números reales y en la resta y cociente también da como resultado un número real.

Al asociar un grupo de números con el orden que deseemos su resultado no cambia como:
 (a + b) + c = a + (b + c)   y   a ·(b · c) = (a · b)· c 
En estos casos se resuelve primero los números dentro del paréntesis  para luego resolver los restantes y obtener un resultado.

Para todo número a existe un número inverso aditivo que seria -a en el que en su resta daría 0 , es decir,  a-a=0 como la suma de dos números reales en el que uno es positivo y su inverso es negativo o si es negativo su inverso seria positivo.

Es el producto de un número real y un número natural como: 
 na =a + a + ... + a n veces
 nb =b + b + ... + b n veces 
 na+nb = [(a + a + ... + a) ] n veces + [(b + b + ... + b) ]n veces
 = (a + b) + (a + b) + (a + b) + ... + (a + b) (n veces)
 =n (a + b) 

Siendo el álgebra la generalización de la aritmética que nos permite ver la suma y multiplicación de estos conjuntos en el que se generalizan los números convirtiéndolos por ejemplo a m y n que son la variables que representan un conjunto de números en particular.
Las primeras letras del alfabeto son utilizadas para simbolizar constantes y las ultimas letras del alfabeto simbolizan variables aunque también se suelen utilizar algunas letras del alfabeto griego para especificar cuales son constantes y variables  como α y  β. 
Y estas constantes y variables son las expresiones algebraicas que definen una operación.

Es escribir y presentar como una multiplicación de varios factores en una suma .

Del producto X al cuadrado +(a+b) x+ab = (x+a) (x+b)
por ejemplo al factorizar x al cuadrado +5x+6 se deben de buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6 para dar como resultado (x+2) (x+3)

 

Las propiedades mencionada anteriormente son las principales o fundamentales de los Números Reales.

Se aplica en la multiplicación (x +y) (x −y) con la propiedad distributiva  y sus sumas como se ve a continuación:
 x+y)(x−y) = (x+y)x−(x+y)y 
=x 2 +xy−xy−y 2 = x 2 −y 2 
se sintetizan por:  suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. 

Para ambos lados de la igualdad se tiene que a=c en el caso de que el número real  -b este en ambos lado como:
(a+b) + (−b) = (c+b) + (−b)
a+ (b+ (−b) =c+ (b+ (−b)
a+0 =c+0
a =c 
esto se da tomado de la principal ecuación que seria a+b=c+b
Para el producto si ab=cb en el que b sea diferente de cero seria a=c en el que se multiplican ambos lado de la igualdad por b con exponente -1.

Estas propiedades tienen relación entre si y son llamadas axio-mas de cuerpo de los números reales.

Es el inverso aditivo y multiplicativo y es la no existencia de divisores de cero en el que todos números reales igual a cero necesariamente alguno de ellos debió ser cero en el caso de la multiplicación por lo que todo número que no sea multiplicado a cero no puede dar como resultado cero como por ejemplo:
a . b = 0  

Es racionalizar el numerador o denominador de una expresión algebraica en el de desaparezca sus radicales y para ello se utiliza el factos racionalizante que permite eliminar el radical.

Una de las expresiones para factorizar  es ax+bx+cx en el que todos los términos tienen un factor en común que es la x y se obtendria:
ax+bx+cx = ( a+b+c ) x
 

Se representa de la forma a/b en el que nos dice que b (denominador) es la cantidad de partes en las que se divide y a (numerador) es el entero de donde se tomaron las partes.
Esta división entre el numerador y el denominador se puede ver que su resultado o número después de la coma se empiezan a repetir indefinidamente una serie de números como se puede ver a continución:
158 / 14 = 11,28571428.....
297 / 17 = 17,47058823....

Tanto como el número racional e irracional se encuentran amontonados en la recta ya que ocupan un lugar y espacio en la recta real.

Es buscar una forma mas simple y sencilla de escribir una operación siendo equivalente a ella. 

Todos estos números hacen parte de la llamada Matemática continúa que es el estudio básico de la Matemática que se relacionaran con la suma, resta, multiplicación, división y las operaciones de potenciación y radicación como conocimiento de estos números.

Para describir situaciones físicas y prácticas y este conjunto numérico es nombrado como conjunto de los Números Enteros.
 Z : 
Z ={...,−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}