Sea (X, T) un espacio topologico y sea S un subconjunto de X. Se dice
que x ∈ X es un punto adherente de S si todo entorno U de x cumple que U ∩ S 6= ∅,
es decir, no hay ningun entorno de x totalmente contenido en X − S. El conjunto de puntos adherentes de S se llama la adherencia o la clausura de S y se representa por S.

En un espacio metrico, Un punto

se denomina punto de adherencia de un conjunto

si para todo entorno

se cumple que

.
 

Decimos que β es base de la topología T sólo si para todo punto p contenido en un abierto U existe un elemento

y

es un abierto en la topología.

Ya comentamos que una familia arbitraria de subconjuntos no formará una base. Será interesante disponer de un criterio para decidir si la forman o no.

Una familia β no vacía de subconjuntos de X formará la base de alguna topología si se cumple:

Una bola abierta es el conjunto de puntos que distan de otro punto (el centro), a una distancia menor a la determinada (el radio). Equivale al conjunto de puntos contenidos dentro de una superficie esférica, excluida dicha superficie.
Sea

un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que

sea pseudodistancia). Sea un número real

. Sea

. Se define la bola abierta de centro

y radio

(o simplemente bola de centro

y radio

) como el conjunto

.

Una bola cerrada es el conjunto de puntos que distan de otro (el centro), una distancia igual o menor dada (el radio). Equivale al conjunto de puntos contenidos dentro de una superficie esférica, incluida dicha superficie.
Sea

un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que

sea pseudodistancia). Sea un número real

. Sea

. Se define la bola cerrada de centro

y radio

como el conjunto

.

Sea

un espacio topológico,

se dice que es un conjunto denso en

si y solamente si

, es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para

son todas equivalentes:

En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto:

el conjunto potencia es:

El conjunto potencia de

también se denomina conjunto de las partes de

, o conjunto de partes de

y se denota por

, donde

es el cardinal de las partes de

, es decir,

.

Un conjunto abierto, en topología general y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que todos y cada uno de sus elementos están rodeados por elementos que también pertenecen al conjunto;1​ o, dicho de una manera más intuitiva, que ningún elemento de dicho conjunto pertenece también a la frontera de éste.

En matemáticas, un conjunto numerable es un conjunto con la misma cardinalidad que algún subconjunto de los números naturales. Un conjunto numerable puede ser finito o un infinito. Más concretamente, un conjunto se dice que es numerable (o contable) cuando existe una biyección entre este conjunto y un subconjunto de los números naturales.

En 1874 Georg Cantor introdujo el término conjunto numerable, contrastando conjuntos que son contables con los que son incontables. Hoy en día, los conjuntos numerables forman la base de una rama de las matemáticas llamada matemática discreta.

Dado un espacio topologico (X, T), diremos que un subconjunto U ⊂ X
es un entorno de un punto x ∈ X si existe un abierto A tal que x ∈ A ⊂ U. El conjunto .

En un espacio métrico M = (X,d), un conjunto V es un entorno de un punto p si existe una bola abierta con centro p y radio r,

que es contenida en V.
V es llamado entorno uniforme de un conjunto S si existe un número positivo r tal que para todos los elementos p de S,

estén contenidos en V.

Para r>0 el r-entorno

de un conjunto S es el conjunto de todos los puntos en X que distan menos de r desde S (o equivalentemente,

es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen centro en un punto de S).

Se deduce entonces que un r-entorno es un entorno uniforme, y que un conjunto es un entorno uniforme si y solo si contiene un r-entorno para algún valor de r.

 aquellos puntos de M, que se encuentran a una distancia r de a, y esto nos dará un nuevo conjunto, llamado la esfera con centro en a y radio r.

S ( a, r) = { x en M /  d ( x, a) = r }

Un espacio topologico (X, T) es separable si contiene un subconjunto
numerable denso.
Ejemplo 4.4. La recta real (R, Tu) es separable.

En matemática, un espacio métrico es un conjunto que lleva asociada una función distancia, es decir, que esta función está definida sobre dicho conjunto, cumpliendo propiedades atribuidas a la distancia, de modo que para cualquier par de puntos del conjunto, estos están a una cierta distancia asignada por dicha función.

Formalmente, un espacio métrico es un conjunto

(a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica)

es el conjunto de los números reales). Decir

es una distancia sobre

es decir que para todo

, esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:

desigualdad triangular).

De estos también se deduce:

(positividad)

Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumplen las tres propiedades siguientes:

1. El conjunto vacío y X están en T.

2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T está en T.

3. La unión de cualquier subcolección de conjuntos de T está en T.

Esta condición también se escribe, formalmente:

A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos o simplemente abiertos de (X,T);4​ y a sus complementos en E, conjuntos cerrados.

En matemáticas, una familia de conjuntos o una colección de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos. El nombre «familia» o «colección» se utiliza para enfatizar la naturaleza conjuntista de sus elementos y suele venir acompañado de una notación distinta.

Familia indexada
Una manera habitual de especificar una familia de conjuntos (y en general, una familia o conjunto de cualesquiera objetos matemáticos) es a través de un conjunto índice. El caso más sencillo es una familia infinita numerable, que puede denotarse {A1, A2, ...} o también {Ai}i ∈ N. En este caso el conjunto índice es el conjunto de los números naturales. En general, una familia indexada de conjuntos es una familia de conjuntos en correspondencia biunívoca con algún conjunto índice:

Una familia indexada de conjuntos de conjunto índice I es una función con dominio I (donde I es no vacío) y cuyas imágenes son conjuntos.

Dicha familia puede denotarse entonces como {Ai}i ∈ I. Nótese que en una familia indexada dos elementos pueden estar repetidos, esto es, puede ocurrir Ai = Aj con i ≠ j.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función.

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

y

su producto cartesiano es:

que se representa:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Sea (X, T) un espacio topologico y S ⊂ X. Diremos que un punto
x ∈ S ⊂ X es un punto aislado de S en (X, T) si existe un entorno U de x tal que
U ∩ S = {x}.

Sea (X, T) un espacio topologico y S ⊂ X. Diremos que un punto x ∈ X 
es un punto de acumulación (o punto límite) de S en (X, T) si cualquier entorno U 
de x contiene un punto de S distinto de x. Es decir, si (U − {x}) ∩ S diferente de ∅. El conjunto 
de todos los puntos de acumulación de S se dice que es la acumulación o conjunto derivado de S, y se representa por S`
.

Dado un espacio topológico

y

un subconjunto de

, se define la frontera de

como la intersección de la clausura de

con la clausura del complemento de

, y se denota por

. En otras palabras:

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

Donde:

denota el interior de

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto

es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en

como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado.

Sea

un espacio topológico, y

. Se define el interior de

,

,

) como la unión de todos los abiertos contenidos en

.1​ Es decir,

si y solo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topo lógicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.